Izracunavanje hemijskog potencijala

U ovom radu, oslanjajuci se na RPA teoriju, elektronsku komponentu plazme tretirali smo kao elektronski gas (sa homogenim pozitivnim zaledjem) i hemijski potencijal $\mu_{e}$ racunali smo na nacin opisan u radu [18] pomocu izraza

$$\int_{0}^{\infty} \rho(E) \omega(E, \mu_{e}, T_{e}) dE = N_{e}$$ (11.1)

gde je $N_{e}$ koncentracija elektrona, $\rho(E)$ gustina elektronskih stanja u energetskom prostoru

$$\rho(E) = \left( \dfrac{m_{e}^{3}}{2 \pi^{4} \hbar^{6}}\right) ^{1/2} E^{1/2}$$ (11.2)

$T_{e}$ je temperatura elektronskog gasa, $\beta = \dfrac{1}{k T}$, $\omega(E, \mu_{e}, T_{e})$ je Fermi Dirakova distribuciona funkcija data izrazom,

$$\omega(E, \mu_{e}, T_{e}) = \dfrac{1}{exp(\beta(E - \mu_{e}) + 1)}$$ (11.3)

Zamenjujuci jednacine (D.2), (D.3) u jednacinu (D.1) dobijamo izraz

$$\int_{0}^{\infty} \left( \dfrac{m_{e}^{3}}{2 \pi^{4} \hbar^{6}}\right)^{1/2} E^{1/2} \dfrac{dE}{exp(\beta(E - \mu_{e}) + 1)} = N_{e}$$ (11.4)

Koristeci odgovarajuce smene

$$x = \beta E, \hspace{0.5cm} x_{0} = \beta \mu_{e}$$ (11.5)

jednacina (D.4) dobija pogodan za dalji racun oblik

$$\int_{0}^{\infty} \dfrac{\sqrt{x} dx}{exp(x - x_{0}) +1} = \dfrac{\beta^{3/2} \pi^{2} \hbar^{3}}{\sqrt{2} m_{e}^{3/2}} N_{e} = C(N_{e}, T_{e})$$ (11.6)

Integral na levoj strani jednacine (D.6) se racuna i njegovo rešenje je funkcija koja zavisi od promenjive $x_{0}$ tj.

$$\int_{0}^{\infty} \dfrac{\sqrt{x} dx}{exp(x - x_{0}) + 1} = f(x_{0})$$ (11.7)

Tada jednacina (D.6) postaje linearna po nepoznatoj $x_{0}$. Pri zadatim vrednostima elektronske koncentracije $N_{e}$, i temperature $T_{e}$ ona dobija pogodan oblik

$$f(x_{0}) = \dfrac{\beta^{3/2} \pi^{2} \hbar^{3}}{\sqrt{2} m_{e}^{3/2}} N_{e}$$ (11.8)

Kao zadnji korak u racunu treba naci nule jednacine (D.8) tj. naci $x_{0}$. Samim time se nalazi hemijski potencijal $\mu_{e}$

$$\mu_{e} = x_{0} k T$$ (11.9)

Provera ispravnosti racuna za $\mu_{e}$ je moguca, tako što se vrši uporedjenje sa njegovom klasicnom granicom tj. limesom $\mu_{e}^{cl.}$, [45], [46]

$$\mu_{e}^{cl.} = \dfrac{1}{\beta} ln\left( \dfrac{\sqrt{2} \pi^{3/2} \hbar^{3} N_{e}}{(\frac{m_{e}}{\beta})^{3/2}}\right)$$ (11.10)

Proracuni su izvršeni komplikovanim numerickim postupkom koji je pretocen u odgovarajuci softver.