Metod parcijalnih talasa

Polazna tacka u daljim razmatranjima je Šredingerova jednacina sa hamiltonijanom (4.14):

$$\left[ \left( \dfrac{-\hbar^{2}}{2m}\right)\nabla^{2} + V(\overri... ...theta, \phi) = \left( \dfrac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}\right) \psi(r, \theta, \phi)$$ (9.1)

Ogranicicemo se na sferno simetricni potencijal: $V(\overrightarrow{r}) = V(r)$. Rešavacemo jednakost (B.1) metodom separacije varijabli. U faktor prostoru $L_{2}^{(\Omega)}$ dobijamo sferne harmonike $Y_{l}^{m}(\theta, \phi)$, a u radijalnom faktor prostoru $L_{2}^{(r)}$ preostaje

$$\left[ -\dfrac{\hbar^{2}}{2mr^{2}} \left( \dfrac{d}{dr}\right) \l... ...2}} + V(r) \right] u_{l}(r) = \left( \dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\right)u_{l} (r)$$ (9.2)

Mnozeci dobijenu jednakost sa $(-\frac{2m}{\hbar^{2}})$ i koristeci se jednakošcu:
$r^{-2}(d/dr)r^{2}(d/dr) = (2/r)(d/dr) + d^{2}/dr^{2} = r^{-1}(d^{2}/dr^{2})r$, odmah sledi:

$$\left[ \dfrac{1}{r}\left( \dfrac{d^{2}}{dr^{2}}\right)r - \dfrac{l(l + 1)}{r^{2}} - U(r) + k^{2} \right] u_{l}(r) = 0,$$ (9.3)

gde je $U(r) = (2m/\hbar^{2})V(r)$. Imajuci u vidu da je naš problem rasejanja aksijalno simetrican ogranicicemo razmatranje samo na aksialno simetricna rešenja. To su rešenja koja ne zavise od $\phi$, tj. ona za koje je magnetni kvantni broj $m = 0$. Stanje rasejanja moramo razviti po $l$, [41]:

$$\psi(r, \theta) = \sum_{l = 0}^{\infty} a_{l}u_{l}(r)Y_{l}^{m = 0}(\theta) = \sum_{l=0}^{\infty}b_{l}u_{l}(r)P_{l}(cos\theta) ,$$ (9.4)

uzimajuci da je funkcija $Y_{l}^{m = 0}(\theta)$ jednaka, s tacnošcu do konstante, Legrende-ovom polinomu $P_{l}(cos\theta)$.

Kao što smo videli nama je ustvari potrebna samo asimptotska forma od $\psi(r, \theta)$. Izracunacemo asimptotsku formu pojedinih $u_{l}(r)$. U asimptotskom regionu (B.3) se svodi na

$$\left[ \dfrac{1}{r}\left( \dfrac{d^{2}}{dr^{2}}\right) r + k^{2}\right] u_{l}(r) = 0, \hspace{0.5cm} r\rightarrow \infty$$ (9.5)

Opšte rešenje jednacine (B.5) glasi $\frac{\alpha}{r}cos(kr) + \frac{\beta}{r}sin(kr)$ ili ekvivalentno
$(\frac{\gamma}{r})sin(kr + \delta)$. Ispostavlja se da je pogodno staviti $\delta = \left( -\frac{l\pi}{2}\right) + \delta_{l}$, $\gamma = \frac{e^{i\delta_{l}}}{k}$. Tako da ce izraz za $u_{l}(r)$ biti:

$$u_{l}(r) = \left( \frac{e^{i \delta_{l}}}{k r}\right)sin\left( k r - \frac{l \pi}{2} + \delta_{l}\right) , \hspace{0.5cm} r\rightarrow \infty$$ (9.6)

Ugao $\delta_{l}$ predstavlja razliku u fazi izmedju asimptotskog izraza stvarne radijalne funkcije $u_{l}(r)$ i radijalne funkcije $j_{l}(kr)$ slobodnog kretanja $(V(r) = 0)$ i zato se velicina $\delta_{l}$ naziva fazni pomeraj $l-tog$ parcijalnog talasa.

Potrebno je da razvijemo ravan talas po sfernim talasima

$$e^{ikz} = \sum_{l = 0}^{\infty} \left( 2l + 1\right)i^{l}j_{l}(k r)P_{l}(cos\theta)$$ (9.7)

gde je $j_{l}(kr)$ sferna Besselova funkcija. Asimptotska forma od sferne Besselove funkcije glasi $j_{l}(k r) = sin(kr - l\pi/2)/kr$.
Sad mozemo asimptotsku formu od $\psi(r, \theta)$ izjednaciti sa asimptotskom formom $e^{ikz} + f(\theta)e^{ikr}/r$ (4.15)

$$\begin{array}{cc} \displaystyle \sum_{l = 0}^{\infty} c_{l}\l... ...ght] P_{l}(cos\theta) + f(\theta)\dfrac{e^{ikr}}{r} \end{array}$$ (9.8)

Posle sredjivanja izraza tj. jednakosti (B.8) dobijamo izraz za amplitudu rasejanja $f(\theta)$

$$f(\theta) = \left( \dfrac{1}{k}\right)\sum_{l = 0}^{\infty}e^{i\delta_{l}}sin\delta_{l}P_{l}(cos\theta)$$ (9.9)

Prema tome pošto je $Q(\theta, \phi) = \mid f(\theta, \phi)\mid^{2}$, a $Q(\theta) = 2\cdot\pi\cdot Q(\theta, \phi)$ ako $Q(\theta, \phi)$ ne zavisi od $\phi$, imamo

$$Q(\theta) = \dfrac{2 \pi}{k^{2}}\mid \sum_{l = 0}^{\infty} \left(2l + 1 \right)e^{i\delta_{l}}sin(\delta_{l})P_{l}(cos\theta) \mid^{2}$$ (9.10)

Posto su Legendre-ovi polinomi ortogonalni

$$\int_{0}^{\pi}P_{l}(cos \theta)P_{l^{'}}(cos \theta)sin\theta d\theta = \left[ \dfrac{2}{2l + 1}\delta_{ll^{'}}\right]$$ (9.11)

totalni presek za rasejanje, definisan sa $Q = \int_{0}^{\pi}Q(\theta)sin(\theta)d\theta$ moze se napisati u obliku

$$Q = \sum_{l = 0}^{\infty}Q_{l} = \left( \dfrac{4\pi}{k^{2}}\right)\sum_{l = 0}^{\infty}\left( 2l + 1\right) sin^{2} \delta_{l}$$ (9.12)

a transportni presek za elasticno rasejanje definisan je sa

$$Q^{tr} = \sum_{l = 0}^{\infty} Q_{l}^{tr} = \left( \dfrac{4\pi}{k... ...}^{\infty} \left( l + 1\right) sin^{2}\left( \delta_{l} - \delta_{l + 1}\right)$$ (9.13)

U (B.12), (B.13) se pojavljuju preseci $Q_{l}$, $Q_{l}^{tr}$

$$Q_{l} = \left( \dfrac{4\pi}{k^{2}}\right)\left( 2l + 1\right) sin^{2} \delta_{l}$$ (9.14)

$$Q_{l}^{tr}= \left( \dfrac{4\pi}{k^{2}}\right) \left( l + 1\right) sin^{2}\left( \delta_{l} - \delta_{l + 1}\right)$$ (9.15)

u kojima imamo fazne pomake $\delta_{l}$ kao otvoren tj. nepoznat broj. Dejstvo potencijala $V(r)$ interakcije $e-a$ ispoljava se u faznim pomacima.