Transportni presek za elasticno rasejanje

Strogo izracunavanje svih interakcija upadnog elektrona i atoma je veoma slozeno. Zbog cega se koriste priblizne metode rešavanja ovog problema.
U prethodnom poglavlju pokazali smo kako se slozen problem rasejanja elektrona na atomu svodi na jednostavniji problem rasejanja elektrona centralno simetricnim potencijalom. U toj aproksimaciji hamiltonijan sistema se moze napisati kao hamiltonijan cestice mase priblizno jednake masi elektrona koja se rasejava na sferno simetricnom potencijalu $V(r)$ koji potice od druge(teške) cestice.

$$\widehat{H} = \dfrac{\widehat{p}_{r}^{2}}{2m} + \dfrac{\widehat{\overrightarrow{l}^{2}}}{2 m r^{2}} + V(\overrightarrow{r})$$ (4.14)

Rasejanje je stacionaran proces. Opisuje ga stacionarno rešenje koje je svojstveni vektor hamiltonijana (4.14), tj. rešenje je u vidu $\psi(r, \theta, \phi)e^{-i(\frac{E}{\hbar})t}$, gde je $E$ energija relativne cestice. Talasna funkcija $\psi(r, \theta, \phi)$, takozvano stanje rasejanja, mora da zadovoljava i sledeci granicni uslov: u asimptotskom regionu mora da se ponaša na sledeci nacin

$$\psi = e^{i\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}} + \dfrac{f(\theta, \phi)e^{ikr}}{r} \hspace{0.5cm}, r\rightarrow \infty$$ (4.15)

gde je $k = \mid \overrightarrow{k} \mid = \frac{\left( 2 m E\right)^{\frac{1}{2}}}{\hbar}$. Funkcija $f(\theta, \phi)$ se naziva amplituda rasejanja. Prvi sabirak u (4.15) opisuje ulazni snop cestica, a drugi rasejani snop. Ukupno stanje je superpozicija.
Poznat je izraz za diferencijalni presek kod rasejanja iz kanala $a$ u kanal $b$ [31], i on ima oblik:

$$dQ = \left( \dfrac{k_{a}}{k_{b}}\right) \mid f(\theta, \phi) \mid^{2}d^{2}\Omega$$ (4.16)

koji u slucaju elasticnog rasejanja dobija oblik

$$dQ = \mid f(\theta, \phi) \mid^{2}d^{2}\Omega$$ (4.17)

pomocu (4.17) dobijamo izraz za totalni presek za elasticno rasejanje

$$Q = \int \mid f(\theta, \phi) \mid^{2}d^{2}\Omega$$ (4.18)

i transportni totalni presek za elasticno rasejanje

$$Q^{tr} = \int \left( 1 - cos \theta \right) \mid f(\theta, \phi) \mid^{2}d^{2}\Omega$$ (4.19)

Dakle, za teorijsko izracunavanje preseka dovoljno je izracunati amplitudu rasejanja $f(\theta, \phi)$ tj. talasnu funkciju $\psi(r, \theta, \phi)$ koja je rešenje jednacine kretanja (4.14).

Nacin odredjivanja talasne funkcije $\psi(r, \theta, \phi)$ i amplitude rasejanja $f(\theta, \phi)$ je detaljno opisan u prilogu B strana .