Odredjivanje sastava plazme H , He

Oznacimo sa $A^{i} (i = 0, 1, 2 .....)$ i-struko jonizovani atom, a sa $N_{i}$ koncentraciju tih jona. U plazmi se dešava niz reakcija oblika

$$A^{i} \leftrightarrow A^{i + 1} + e , \hspace*{1cm} (i = 0, 1, 2, ......, (s - 1))$$ (10.1)

gde je sa $e$ oznacen elektron, a $s$ je maksimalan multiplicitet jonskog naelektrisanja u datom gasu. Za svaku od reakcija (C.1) mozemo napisati zakon dejstva masa, takozvanu jednacinu Saha , [42], [43]

$$\dfrac{N_{i + 1}N_{e}}{N_{i}} = 2\dfrac{U_{i + 1}}{U_{i}}\left[ \... ...left(- \dfrac{I^{eff}}{kT}\right), \hspace*{1cm} (i = 0, 1, 2, ......, (s - 1))$$ (10.2)

gde je $N_{i}$ koncentracija i-struko jonizovanog atoma, $I^{eff}$ je efektivna jonizaciona energija za proces jonizacije $i\rightarrow (i + 1)$ , $U_{i}$ je particiona funkcija (statisticka suma) i-struko jonizovanog atoma i najuopšteniji oblik joj je

$$U_{i} = \sum_{j} g_{ij} exp\left( - \dfrac{E_{ij}}{kT}\right), \hspace*{1cm} (i = 0, 1, 2 ......s)$$ (10.3)

gde je $E_{ij}$ energija j-tog kvantnog stanja i-to struko jonizovanog atoma, $g_{ij}$ je statisticka tezina tog stanja. Kod izracunavanja statistickih suma izolovanog atoma tj. jona sumiranje se vrši po svim energetskim stanjima , sve do poslednjeg (suma divergira). Medjutim u plazmi cestice nisu izolovane ,tako da zbog kolektivnih efekata dolazi do snizavanja potencijala jonizacije i time do konacne sume u particionoj funkciji.

Ovo snizenje potencijala jonizacije i-struko jonizovanog atoma $\bigtriangleup I_{i}$ predstavlja razliku energije jonizacije $I_{i}$ izolovanog i-struko jonizovanog atoma i energije poslednjeg pobudjenog stanja istoga koje se realizuje u plazmi. Ovo snizenje potencijala jonizacije predstavlja meru uticaja kolektivnih efekata medju cesticama u plazmi i moze se predstaviti izrazom videti [43]

$$\bigtriangleup I_{i} = \left( i + 1\right) \dfrac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r_{d}} \hspace{1cm} (i = 0, 1......)$$ (10.4)

gde je $r_{d}$ Debajev radijus

$$r_{d} = \left( \dfrac{\epsilon_{0} k T}{e^{2} (N_{e} + \sum_{i} i^{2} \cdot N_{i})}\right)^{1/2}$$ (10.5)

Uocava se da je snizenje potencijala jonizacije $i-puta$ jonizovanog atoma jednako energiji kulonovske interakcije $(i + 1)-puta$ jonizovanog atoma(koji se dobija pri jonizaciji $i-puta$ jonizovanog atoma) sa elektronom stvorenim ovom jonizacijom, ako se on nalazi na rastojanju jednakom Debajevom radijusu.

Jednacnine Saha (C.2) kojih ima $(i + 1)$ zajedno sa uslovom elektro-neutralnosti

$$\sum_{i = 0}^{s} i\cdot N_{i} = N_{e}$$ (10.6)

i uslovom konzervacije broja teških cestica

$$\sum_{i = 0}^{s} N_{i} = N_{0}^{0} = const$$ (10.7)

($N_{0}^{0}$ je broj atoma pre zapocinjanja jonizacije) stvaraju zatvoren sistem od $s + 2$ linearne jednacine, što je dovoljno za nalazenje istog broja nepoznatih velicina $N_{0}, N_{1}, ...... N_{s - 1}, N_{s}, N_{e}$. Korišcenjem velicina $\alpha_{i}$

$$\alpha_{i} = \dfrac{N_{i}}{N_{0}^{0}}, \hspace{0.5cm} \alpha_{e} = \dfrac{N_{e}}{N_{0}^{0}} \hspace{0.5cm} (i = 1, 2, ...... s)$$ (10.8)

i termicke jednacine stanja

$$P = N_{0}^{0} k T ,$$ (10.9)

Tj. pomocu (C.8), (C.9), jednacina dobija oblik (C.2)

$$\dfrac{\alpha_{i + 1} \alpha_{e}}{\alpha_{i}}\dfrac{P}{k T} = 2 \... ...frac{I_{i} - \triangle I_{i}}{k T}\right), \hspace{0.2cm} (i = 0, 1,..., s - 1)$$ (10.10)

tako da koristeci (C.6), (C.7), (C.10) imamo broj od $(s + 2)$ jednacina po nepoznatima $N_{0}$, $N_{1}$ , ...... $N_{s - 1}$, $N_{s}$, $N_{e}$.

Postupak odredjivanja sastava plazme (vodonicne H) se svodi na iterativni metod, koji se sastoji od nekoliko koraka:

1. vrednosti za pritisak $P$ i temperaturu $T$ se zadaju kao ulazna velicina.
2. pocetne vrednosti stepena jonizacije $\alpha^{0}$ se zadaju.
3. izracunava se Debajev radijus pomocu jednacine (C.5)
4. snizavanje energije $\triangle I_{0}$, se izracunava iz jednacine (C.4)
5. izracunavaju se statisticke sume tj. particione funkcije $U_{i}$ sumiranjem reda (C.3) po svim vrednostima indeksa "j" pri cemu je zadovoljen uslov

   $$E_{ij} \leq I_{i} - \bigtriangleup I_{i}$$ (10.11)

   
   

   Energetski nivoi atoma i jona se mogu naci na web sajtu "NIST-a" (najazuriraniji podaci) [44] ili u starim tablicama (one su prilicno stare i neazurirane).

6. izracuvaju se nove vrednosti $\alpha_{i}^{1}$ korišcenjem jednacine (C.10) i uporedjuje se sa prethodnim vrednostima $\alpha_{i}^{0}$. U slucaju da je zadovoljen uslov

   $$\mid \alpha_{i}^{1} - \alpha_{i}^{0} \mid > \delta$$ (10.12)

   
   

   gde je $\delta$ prethodno zadat mali broj, uzimamo da je

   $$\alpha_{i}^{0} = \alpha_{i}^{1}$$ (10.13)

   
   

   i ponovo izvršavamo proceduru pocevši od koraka 3.

7. Kad je zadovoljen uslov

   $$\mid \alpha_{i}^{1} - \alpha_{i}^{0} \mid < \delta$$ (10.14)

   
   

   mozemo smatrati da smo dobili konacno rešenje jednacine (C.10) i tada se moze izracunati koncentracije cestica.

Na primer za H imacemo izraze za koncentracije cestica:

$$N_{e} = N_{1} = \dfrac{\alpha}{(1 + \alpha)} \dfrac{P}{k T}$$ (10.15)

$$N_{0} = \dfrac{1 - \alpha}{(1 + \alpha)} \dfrac{P}{k T}$$ (10.16)