Potencijal interakcije

Interakcija izmedju naelektrisanih i neutralnih cestica se suštinski razlikuje od interakcije izmedju naelektrisanih cestica. Interakcija izmedju naelektrisanih cestica je dugodometna kulonovska tj. $\sim \dfrac{1}{r}$ gde je $r$-intercesticno rastojanje. U slucaju interakcije naelektrisanih cestica sa atomom ova interakcija u oblasti velikih $r$ je $\sim \dfrac{1}{r^{n}}$ gde je u opštem slucaju $n \geq 2$.

Ovde cemo razmatrati slucaj kad potencijal interakcije elektrona i atoma moze biti opisan sferno simetricnim potencijalom $U(r)$. Ovaj potencijal cemo opisati u obliku $U(r) = U_{0}(r) + U_{as}(r)$, gde $U_{0}(r)$ opisuje kratkodometni deo interakcije a $U_{as}(r)$ dugodometni. U ovom radu smo razvili metod opisivanja elasticnog rasejanja elektrona na atomima inertnih gasova, u plazmama sa izrazenom neutralnom komponentom. U ovom slucaju apsolutno dominantnu ulogu imaju atomi u osnovnom stanju. Shodno tome mi mozemo smatrati da u oblasti $r \gg r_{a}$, gde je $r_{a}$ karakteristicni radijus atoma, clan $U_{as}(r)$ opisuje polarizacionu interakciju,

$$U_{as}(r) = - \dfrac{\alpha e^{2}}{2 r^{4}}$$ (4.1)

gde je $\alpha$ polarizabilnost atoma date vrste.

Medjutim za oblast $r \sim r_{a}$ ovaj polarizacioni clan, u saglasnosti sa radom [13] mora biti uzet u obliku 4.2, cime se omogucuje primena ovog clana, u slucaju potrebe, u citavom opsegu $r \geq 0$.

$$U_{as}(r) = - \dfrac{\alpha e^{2}}{2 (r^{2} + r_{a}^{2})^{2}}$$ (4.2)

Takodje u radu [13] posebna paznja je bila posvecena ispitivanju kratkodometne interakcije tj. potencijalu $U_{0}(r)$. Medjutim, pošto je u radu [13] odgovarajuci metod opisivanja elektron atom interakcije bio razvijen za slucaj atoma vodonika i alkalnih metala kako u osnovnom tako i u pobudjenom stanju, metod ne bi mogao biti direktno primenjiv za slucaju elektron atom interakcije plazmi plemenitih gasova. Zato smo morali da za ovaj slucaj razradimo, odgovarajucu varijantu metode opisivanja elektron atom interakcije.

U ovom radu, preseci za rasejanje elektrona na atomu su izracunati u jednoelektronskoj aproksimaciji tj. kao preseci za rasejanje elektrona na zadatom potencijalu. Zato cemo ukratko predstaviti teoriju rasejanja elektrona na atomu i pokazati kako se slozen problem svodi na problem rasejanja na "optickom" potencijalu ciji cemo oblik predstaviti.

Oznacimo sa $\widehat{H}_{A}$ hamiltonijan Z-elektronskog atoma, sa $\overrightarrow{x}$ elektronske koordinate, sa $\phi_{a}(\overrightarrow{x})$ i $W_{a}$ svojstvene funkcije i vrednosti hamiltonijana $\widehat{H}_{A}$, tada

$$\left[ \widehat{H}_{A}(\overrightarrow{x}) - W_{a} \right] \phi_{a}(\overrightarrow{x}) = 0$$ (4.3)

gde smo sa "$a$" oznacili potpun skup kvantnih brojeva. Neka je $\widehat{K}$ opreator kineticke energije, $\varepsilon$ energija upadnog elektrona, a $\overrightarrow{r}$ vektor polozaja u odnosu na atom koji se smatra nepokretnim, tada

$$\left[ \widehat{K} - \varepsilon \right] \varphi_{k}(\overrightar... ...ightarrow{r}) = (2 \pi)^{-3/2}e^{i \overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{r}}$$ (4.4)

Ukoliko efekte izmene pri rasejanju elektrona na atomu ne uzmemo u obzir, pocetno stanje sistema elektron-atom je opisano funkcijom $\psi_{a}(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{r}) = \phi_{a}(\overrightarrow{x}) \varphi_{k}(\overrightarrow{r})$ koja zadovoljava jednacinu

$$\left[ \widehat{H}_{A}(\overrightarrow{x}) + \widehat{K} - E \rig... ...verrightarrow{x}, \overrightarrow{r}) = 0; \hspace{1cm} E = W_{a} + \varepsilon$$ (4.5)

Obelezimo sa $\widehat{V}(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{r})$ operator elektrostaticke interakcije upadnog elektrona i atoma

$$\widehat{V}(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{r}) = - \dfrac{Z}... ...sum_{i = 1}^{Z}\dfrac{1}{\vert\overrightarrow{x_{i}} - \overrightarrow{r}\vert}$$ (4.6)

Rešenje $\psi( \overrightarrow{x}, \overrightarrow{r})$ Šredingerove jednacine kojom se opisuje rasejanje elektrona na atomu

$$\left[ \widehat{H}_{A}(\overrightarrow{x}) + \widehat{K} + \wideh... ...verrightarrow{x}, \overrightarrow{r}) = \left( \widehat{H} - E \right) \psi = 0$$ (4.7)

trazimo u obliku u obliku razvoja po atomskim funkcijama $\phi_{a^{'}}(\overrightarrow{x})$

$$\psi(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{r}) = \sum_{a^{'}}\int \psi_{a^{'}}(\overrightarrow{r}) \phi_{a^{'}}( \overrightarrow{x})$$ (4.8)

zamenjujuci 4.8 u jednacinu 4.7 i koristeci 4.3 dobija se sistem jednacina

$$\left[ E - \widehat{K} - W_{a^{'}} \right]\psi_{a^{'}}(\overrightarrow{r}) = \sum_{a^{''}}\int V_{a^{'} a^{''}} \psi_{a^{''}}(\overrightarrow{r})$$ (4.9)

gde je $V_{a^{'} a^{''}} = \int \psi^{\ast}_{a^{'}}(\overrightarrow{x}) \widehat{V}(\o... ...}, \overrightarrow{r})\psi_{a^{''}}(\overrightarrow{x}) d^{3}\overrightarrow{x}$

Razmotricemo rasejanje elektrona na atomu u stanju $\vert a \rangle$. U adijabatskoj aproksimaciji, u razvoju 4.8 zadrzacemo samo dva clana tj. pretpostavicemo da je funkcija stanja sistema elektron+atom superpozicija stanja $\vert a \rangle$ i stanja $\vert b \rangle$ sa odgovarajucom energijom $W_{b}$ oblika

$$\psi(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{r}) = \psi_{a}(\overrigh... ...overrightarrow{x}) + \psi_{b}(\overrightarrow{r}) \phi_{b}( \overrightarrow{x})$$ (4.10)

Rešavajuci sistem jednacina 4.9 dobijamo dvostruko rešenje $E_{a, b}$, od kojih uzimamo manje $E_{a}$ za energiju sistema elektron+atom ( lako se vidi da $E_{a} \rightarrow W_{a}, \hspace{0.2cm} za \hspace{0.5cm} r \rightarrow \infty$ ) tako da imamo izraz za $E_{a}$

$$\begin{array}{c} \displaystyle E_{a} = \dfrac{1}{2} \lbrace W... ...W_{a} + V_{bb} - V_{aa})^{2}} \right]^{1/2} \rbrace \end{array}$$ (4.11)

gde su $V_{aa} = \langle a \vert V(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{r}) \vert a \rangle$, $V_{bb} = \langle b \vert V(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{r}) \vert b \rangle$, $V_{ab} = \langle a \vert V(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{r}) \vert b \rangle$. Vrednost tj. velicina $U_{a}(\overrightarrow{r}) = E_{a}(\overrightarrow{r}) - W_{a}$ moze da se interpretira kao energija interakcije probnog naelektrisanja tj. upadnog elektrona sa atomom u stanju $\vert a \rangle$ i moze da se da u sledecem obliku

$$\begin{array}{c} \displaystyle U_{a}(\overrightarrow{r}) = \d... ...W_{a} + V_{bb} - V_{aa})^{2}} \right]^{1/2} \rbrace \end{array}$$ (4.12)

Izracunavanje preseka za elasticno rasejanje elektrona na potencijalu oblika 4.12 je veoma obiman racunski posao, neprimeren pribliznom karakteru modela. Zbog toga smo potrazili pogodnu analiticku formu tog izraza.

Potencijal smo predstavili u obliku:

$$U(r) = \left\lbrace \begin{array}{lll} U_{0}(r) = - \frac{Z}{r} +... ...{2(r^{2} + h^{2})}& , & r_{0} + \Delta r < r < \infty \end{array} \right\rbrace$$ (4.13)

gde je $Z$ naelektrisanje jezgra, $q$ je naelektrisanje valentnih elektrona koji intraguju prilikom rasejanja elektrona, $\alpha$ je polarizabilnost atoma, $r_{0}$ ima smisao srednjeg radijusa atoma. Koeficijenti $a$, $b$, $c$, $h$ su odredjeni iz uslova neprekidnosti i glatkosti na granicama vazenja datih termova potencijala (4.13).

Potencijal dat prethodnom jednacinom se sastiji iz tri clana. Prvi clan $U_{0}(r)$ u potencijalu (4.13) $U(r)$ opisuje interakciju i to na rastojanjima manjim ili jednakim radijusu atoma. Treci term $U_{as}(r)$ opisuje $e-a$ interakciju u asimptotskoj oblasti gde ona ima polarizacioni karakter. Dok drugi clan $U_{m}(r)$ opisuje interakciju izmedju vazenja prethodno pomenutih $U_{0}(r)$ i $U_{as}(r)$, tj. na rastojanjima oko srednjeg radijusa atoma. Ovakav oblik opisivanja e-a interakcije tj. oblik potencijala je primenjiv na sve inertne gasove, parametri u (4.13) zavisice od vrste gasa.

Slika 4.1: Modelni potencijal interakcije atoma helijuma i elektrona

U potencijalu (4.13) mozemo termovima pripisati fizicki smisao. Prvi clan tj. term $U_{0}(r)$ potencijala (4.13) po svom obliku lici na "cut-off" Kulonov potencijal. Svrha sabirka $\frac{q}{r + r_{0}}$ i $\frac{Z - q}{r_{0}}$ u $U_{0}(r)$ je uracunavanje odstupanja istoga od "cut-off" Kulonov potencijal zbog deformacija u orbiti valentnih elektrona u atomu kad se elektron perturber nadje unutar atomske orbite. Naravno smisao terma $U_{as}(r)$ u izrazu (4.13) je da opisivanje rasejanje elektrona u asimptotskoj oblasti kao rasejanje na cistom polarizacionom potencijalu dipola (atoma). Drugom clanu mozemo dati samo matematicki smisao. Uveden je da bi modelni potencijal imao neprekidnost i glatkost u oblastima prelaza izmedju clada jedan i tri u izrazu (4.13).

U poglavlju 5 strana ce detaljno biti opisan potencijal za helijum gde ce biti predstavljeni svi potrebni koeficijentu iz (4.13) u obliku tabele. Necemo se zadrzavati u predstavljanju potencijala e-a interakcije za atom vodonika jer je on detaljno opisan slicnom metodom u radu [13, Ignjatovic].