Smisao i nacin odredjivanja velicina u RPA teoriji

Ovaj dodatak je nastavak teorije predstavljene u poglavlju 3 strana (). U daljnjem tekstu dublje cemo uci u problem odredjivanja velicina u RPA teoriji, i predstaviti njihov smisao.

RPA elektronski polarizacioni operator $\Pi_{e\nu}^{RPA}(q)$ za delimicno degenerisani elektronski gas dat je izrazom [36]

$$\begin{array}{ll} \displaystyle \Pi_{e\nu}^{RPA}(q) = \dfrac{... ...} u + q + iQ_{\nu}}{2 k_{f} u - q + iQ_{\nu}} \vert \end{array}$$ (8.1)

gde su velicine $k_{f}$, $\theta$ i $Q_{\nu}$ date izrazima, $k_{f} = (3 \pi^{2} N_{e})^{1/3}$, $\theta = (2 m / \hbar^{2} \beta) k_{f}^{-2}$, $(Q_{\nu} = 4 \pi \nu m / \hbar^{2} \beta q, \nu = 0, \pm 1, \ldots )$.

Uzevši u obzir renormalizaciju elektronskog polarizacionog operatora usled odstupanja istog od vrednosti korišcene u radu [36], tj. zbog uracunavanja popravke na sopstveno "self" polje dobija se :

$$\Pi_{e \nu}(q) = \dfrac{\Pi_{e \nu}^{RPA}(q)}{1 - \dfrac{4 \pi e^{2} G(q)\Pi_{e \nu}^{RPA}(q)}{q^{2}}}$$ (8.2)

gde je $G(q)$, funkcija local field correlation function koja definiše stepen odstupanja $\Pi_{e \nu}(q)$ od $\Pi_{e\nu}^{RPA}(q)$ koji je definisan izrazom A.1. Funkcija $G(q)$ je data u radu [37] tj. u pojednostavljenom obliku definisana u radu [38] i ima sledeci oblik

$$G(q) = \dfrac{1}{2}\left( 1 + r \frac{k_{s}^{2}}{q^{2}}\right)$$ (8.3)

gde je $k_{s}^{2} = 3 \pi N_{e} e^{2} \beta \theta^{3/2} F_{-1/2}(\beta \mu)$, $F_{-1/2}(\beta \mu)$ je Fermi-jev integral, parametar $r$ istice efekte jakog kuplovanja izmedju elektrona i dat je u [38], [39] izrazom

$$\begin{array}{ll} \displaystyle r = \frac{1}{2} ( 0.3997222 \... ... \Gamma^{-1/3} - 0.210864 \cdot \Gamma^{1/3} )^{-1} \end{array}$$ (8.4)

uz uslov $0 < \Gamma < 200$, gde $\Gamma$ predstavlja stepen neidealnosti plazme.

Jonski polarizacioni operatori $\Pi_{j \nu}(q)$ su definisani [40] u obliku

$$\Pi_{j \nu}(q) = \frac{N_{j}}{k T} \left[ 1 + i \cdot \xi_{j} \cdot Z(i \cdot \xi_{j})\right]$$ (8.5)

gde je $\xi_{j} = \frac{\pi \nu}{\hbar q} \sqrt{2 k T m_{j}}$, $m_{j}$ je masa jona vrste $j$, $Z(i \cdot \xi_{j})$ je neka funkcija od $\xi_{j}\cdot i$, dok su $\nu$ Macubara ucestanosti. Vrednost unutar srednje zagrade izraza (A.5) mozemo raspisati :

$$1 + i \cdot \xi_{j} \cdot Z(i \cdot \xi_{j}) = 1 - \sqrt{\pi} \cd... ...\xi_{j}} \left( 1 - \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\xi_{j}} e^{-x^{2}}dx\right)$$ (8.6)

tako da izraz (A.5) za jonski polarizacioni operator dobija oblik

$$\Pi_{j \nu}(q) = \frac{N_{j}}{k T} \left[ 1 - \sqrt{\pi} \cdot \x... ... \left( 1 - \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\xi_{j}} e^{-x^{2}}dx\right) \right]$$ (8.7)

Izraz (3.5) za vreme relaksacije se moze predstaviti kao zbir dva clana

$$\tau^{-1} = \tilde{\tau}^{-1} + \tau_{N, \infty}^{-1}$$ (8.8)

gde su

$$\begin{array}{ll} \displaystyle \tilde{\tau}^{-1} = \tau_{0, ... ..._{\vert \nu \vert = N + 1}^{\infty} \tau_{\nu}^{-1} \end{array}$$ (8.9)

Drugi clan u izrazu (A.9) se moze proceniti analitickim izrazom koji ima oblik

$$\tau_{N, \infty}^{-1} = x \cdot F_{N}(b)$$ (8.10)

gde je $x = E / k T$, $b = (\hbar e / k T)(N_{e} / \pi m)^{1/2}$, a funkcije $F_{N}(b)$, $F_{0}(b)$ su definisane

$$\begin{array}{ll} \displaystyle F_{N}(b) = F_{0} - \dfrac{8}{... ...b) + \dfrac{2 \pi coth(\pi b) - 5}{sinh^{2}(\pi b)} \end{array}$$ (8.11)

Dovoljan broj Macubara clanova $N$ se dobija tako što se $\tau^{-1}$ i $\tilde \tau^{-1}$ izracunaju za datu vrednost $N$ i izracunaju odgovarajuce vrednosti elektroprovodnosti (3.1) $\sigma$ i $\tilde \sigma$. Ako test konvergencije

$$\vert 1 - \frac{\tilde \sigma}{\sigma} \vert \leq \varepsilon$$ (8.12)

nije zadovoljen, krug se ponavlja povecanjem $N$, $(N \rightarrow N + 1)$ sve do ispunjenja uslova (A.12). Konvergencija zavisi od idealnosti plazme. Za jako neidealnu plazmu pri tacnosti $\varepsilon = 10^{-3}$ potreban broj Macubara clanova je nekoliko stotina hiljada. U tom slucaju parcijalne sume mozemo zameniti integralima

$$\sum_{\vert\nu\vert = N}^{N + \Delta N} \tau_{\nu}^{-1} \approx \int_{N}^{N + \Delta N}\tau_{\nu}^{-1} d\nu$$ (8.13)

i koristeci izraze (A.8), (A.9), (A.13) dobijamo

$$\begin{array}{ll} \displaystyle \tau^{-1} = \sum_{\vert\nu\ve... ...le + \quad \tau_{N + (K + 1) \Delta N, \infty}^{-1} \end{array}$$ (8.14)

gde je

$$\tilde{\tau}^{-1} = \sum_{\vert\nu\vert = 0}^{N} \tau_{\nu}^{-1} ... ...um_{k = 0}^{K} \int_{N + k \Delta N}^{N + (k + 1)\Delta N} \tau_{\nu}^{-1} d\nu$$ (8.15)

Ovakvim proracunom , tj. korišcenjem (A.14), (A.15), za isti broj Macubara clanova i isto $\varepsilon$ (A.12), povecava se tacnost za $10 - 15 \%$.