Elektroprovodnost plazme u Semiklasicnoj aproksimaciji

Saglasno radu [18], korišcenjem semiklasicne aproksimacije desna strana jednacina (3.1), (3.5) se moze znatno uprostiti . Tada, izraz (3.5) za vreme relaksacije dobija uprošcen oblik, izbegavanjem sumiranja po Macubara frekvencama. U semiklasicnoj aproksimacije, u slucaju dvokomponentne plazme (elektroni i pozitivni joni sa naelektrisanjem $Z\vert e\vert$), vreme relaksacije se moze predstaviti u obliku

$$\tau(E) = \dfrac{\xi_{ee}}{N_{i} \upsilon Q_{ei}^{tr}(\upsilon)}$$ (3.8)

gde je $\upsilon = (2E/m)^{1/2}$ brzina elektrona, $N_{i}$ koncentracija jona i $Q_{ei}^{tr}$ elektron-jon transportni presek u Radeford-ovoj aproksimaciji sa "cut-off" sudarnim parametrom. Faktorom $\xi_{ee}$ u izrazu (3.8) uracunava se uticaj elektron-elektron rasejanja, i isti se moze predstaviti

$$\xi_{ee} = \left( 1 + \dfrac{Z}{2}\dfrac{\langle\vert\overrightar... ...tarrow{\upsilon}^{'}\vert)\rangle} {\upsilon Q_{ei}^{tr}(\upsilon)}\right)^{-1}$$ (3.9)

gde je $Q_{ee}^{tr}$ elektron-elektron transportni presek, $\vert\overrightarrow{\upsilon} - \overrightarrow{\upsilon}^{'}\vert$ predstavlja relativnu brzinu elektrona, a $\langle \ldots \rangle$ oznacava usrednjavanje po $\overrightarrow{\upsilon}^{'}$.

Odgovarajuci metod odredjivanja staticke elektroprovodnosti u [18] je bio razvijen u slucaju nedegenerisane vodonicna i vodoniku slicne plazme. Proracun vremena relaksacije $\tau(E)$, odnosno staticke elektroprovodnosti plazme $\sigma$, u semiklasicnoj aproksimaciji u odnosnu na RPA proracun se veoma pojednostavljuje. Metod se još uprošcuje ako se uzme u obzir cinjenica vezana za faktor $\xi_{ee}$. Naime, u [18] je pokazano da se vrednost faktora $\xi_{ee}$ u slucaju dvokomponentne plazme prakticno poklapa sa Spitzerovim faktorom $\gamma_{Sp}(Z)$ u širokom opsegu elektronskih koncentracija i temperatura. Time se, vreme relaksacije $\tau$ dato formulom 3.8 moze uprošceno dati u obliku

$$\tau(E) = \dfrac{\gamma_{Sp}(Z)}{N_{i} \upsilon Q_{ei}^{tr}(\upsilon)}$$ (3.10)

gde je Spitzer faktor dat izrazom

$$\gamma_{Sp}(Z) = 0.38353051 + 0.60923071 \cdot Z / (2.0693826 + Z)$$ (3.11)

a elektron-jon transportni presek $Q_{ei}^{tr}$ predstavljen sa

$$Q_{ei}^{tr}(E) = 2 \pi \left( \dfrac{Ze^{2}}{2E}\right)^{2} ln\left[ 1 + \left( \dfrac{2Er_{ci}}{Ze^{2}}\right)^{2} \right]$$ (3.12)

Radijus ekraniranja $r_{ci}$ u izrazu (3.12) je definisan u sledecem obliku

$$r_{ci} = k \cdot \sqrt{\dfrac{1}{4 \pi Z e^{2} \beta N_{e}}}$$ (3.13)

gde korekcioni faktor $k \geq 1$.

Zamenjujuci SC (semiklasicni) izraz (3.10) za vreme relaksacije u pocetnu formulu (3.1) za staticku elektroprovodnost (detaljan postupak uz objašnjenja je opisan u Prilogu (A.2)) dobija se jednostavan izraz

$$\sigma_{SC} = \dfrac{1}{4 \pi}\dfrac{8\left( 2kT \right) ^{3/2}}{... ...\left\lbrace \left[ 1 + (2kTr_{ci}x_{0}/e^{2})^{2}\right]^{1/2} \right\rbrace }$$ (3.14)

gde su $m$ i $e$ masa i naelektrisanje elektrona, a $x_{0}$ je dato sa

$$\begin{array}{ll} \displaystyle x_{0} = \dfrac{3}{2}f(p) \displaystyle f(p) = 2.198 - 0.262p \end{array}$$ (3.15)

Velicina $p$ koja se javlja u izrazu (3.15), odgovara faktoru neidealnosti plazme $\Gamma$, izraz (2.1) strana

$$p = e^{2}(kTr_{ci})^{-1}$$ (3.16)

Prelaz od slucaja dvokomponentne potpuno jonizovane plazme (elektroni i joni sa naelektrisanjem $Ze$) na slucaj više komponentne potpuno jonizovane plazme (elektroni i joni sa naelektrisanjima $Z_{1}e, \ldots Z_{m}e$) se postize zamenom izraza 3.8 za vreme relaksacije i izraza 3.9 za faktor $\xi_{ee}$ izrazima

$$\tau(E, Z_{1}, \ldots, Z_{m}) = \dfrac{\xi_{ee}(Z_{1}, \ldots, Z_{m})}{\sum_{i = 1}^{m} N_{Z_{i}} \cdot \upsilon \cdot Q_{eZ_{i}}^{tr}(\upsilon)}$$ (3.17)

i odgovarajucim modifikovanim izrazom za faktor $\xi_{ee}(Z_{1}, \ldots, Z_{m})$, gde su $N_{Z_{i}}$ koncentracije jona sa naelektrisanjem $Z_{i}\cdot e$, a $Q_{eZ_{i}}^{tr}$ odgovarajuci transportni preseci.

Semiklasicni metod se pokazao ne samo kao dobra aproksimacija RPA metode, vec zbog svoje jednostavnosti, i kao pogodna metoda za primenu u sferi eksperimentalne fizike plazme [11, Vitel], itd.